Paseándose entre números

Este escrito es de muy diversa índole a los anteriores: casi lo describiría como una clase puesta por escrito. Creo para alguien puede ser de interés, y aun de provecho; como en su momento lo fue para sus destinatarios primigenios: alumnos de 'Filosofía del Conocimiento' segundo semestre de Filosofía, en el Seminario de Hermosillo (Sonora, MEXICO).

NOTA: El texto original incluye algunos símbolos que no puedo ahora reproducir al compartirlo. Los suplo con texto cursivo y entrecomillado, que corresponda a la lectura de ellos.


Paseándose entre números

00. La Aritmética define número como el resultado de contar o medir alguna cantidad. Una definición anterior simplemente habla del resultado de contar. Aun esta sencilla comprensión implica por lo menos las nociones de uno y varios, y las de contar y resultado. Como la de contar no es comprensible sino con la noción misma de número, puede decirse que ambas se implican mutuamente y que son producto de una misma intelección.

01. Parece que el primer número que conocemos es el 2, aunque su comprensión implica la noción del 1: La experiencia visual y táctil nos da datos de individuos y de parejas: una boca, una cabeza, un cuerpo.., y dos manos, dos pies, dos ojos, dos orejas... Atendiendo a estos datos, entendemos el 2 y el 1.

02. Podemos definirlos luego con mayor precisión, expresando que 1 + 1 = 2 y que 2 = 1 + 1. Y a partir de esto, podemos expander lo entendido: 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1. Y pasar de allí a una expansión indefinida: 1 + 1 = 2 , 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5 , etcétera.

Esta expansión indefinida es típica del entender matemático, y, en el caso, implica la intelección del + , del = y del etcétera ("etcétera"). Más aún: la intelección del etcétera ("etcétera") hace que los números todos se hayan entendido, y, con ellos, la ilimitación de la serie que ellos forman.
03. Entender 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3 y 3 = 1 + 1 + 1, da la pista para entender que 3 - 1 = 2 y que 2 - 1 = 1. Entendida así la resta, con el "etcétera" puede expandirse, y aun puede llegarse a comprender el 0.

Pero entender el 0 lleva a reentender todos los números: Número ya no será el resultado de contar, pues nada que se cuente da por resultado 0. Numero será ahora lo que puede ser resultado de una operación aritmética. Y esta nueva comprensión incluirá y perfeccionará las anteriores, asumiéndolas, y como elevándolas a la vez que las deshace; e implicará además nuevas comprensiones, como la de operación y de aritmética.

04. Asumida con el 0 la nueva noción de operaciones, la puerta está abierta a los números negativos (-1, -2) y a nuevas expansiones y definiciones de las operaciones: podrá entrar la multiplicación y, con ella, la división: inicialmente, quizá (respectivamente) como sumar varias veces un mismo número ( 2 x 3 = 2 + 2 + 2 = 6) y como deshacer la multiplicación (si 2 x 3 = 6, entonces 6 ÷ 3 = 2 y 6 ÷ 2 = 3), aun en formas que obviamente no significan lo que antes, como 3 x -2 = -6, o 3 ÷ 2 = 1 ½.

Y la comprensión conjunta de lo anterior (qué es hacer matemáticas) es concomitante a nuevas comprensiones del "etcétera" que asumen las anteriormente logradas, como se hará más obvio en lo que sigue.

05. Como la suma sugirió la multiplicación, ésta sugiere la potenciación: 2 x 2 = 2² , 2 x 2 x 2 = 2³, "etcétera", y, por tanto, 2² = 2 x 2 , 2³ = 2 x 2 x 2, "etcétera". Y la potenciación y el "etcétera" matemático sugieren (o exigen) que 2 "elevado a la" 1 = 2, y aun que 2 "elevado a la" 0 = 1. Y que si 2² = 4 y 3² = 9, "etcétera", entonces las raíces cuadradas de 4 y 9 serán respectivamente 2 y 3, "etcétera"; y, por ejemplo, la de ¼ será ½, la de 9/64 será 3/8 y la de 1.21 será 1.1.

06. El "etcétera" no acepta límites, y continúa creando nociones nuevas, que se añaden a las antiguas, o las asumen. No nos extrañará que a operaciones como 6 + 9, 2 x 2 , 3 ÷ 5 o 4 "elevado a la" 7, añadamos otras, como 3a + 5a, a²/b², (2a + 3b)(a - b), "etcétera"; cosa que nos lleva de nuevo a revisar nuestra noción de número y con ella todas las nociones matemáticas (mucho más si entendemos el significado de expresiones como 2x² + 3x - 6 = 0, en las que x significa precisamente algo que no conocemos).

07. Pero el "etcétera" nos sigue urgiendo, y nos lleva a desear expresar el valor de la raíz cuadrada de 2 ( 2 "elevado a la" ½ ); es decir, a preguntarnos por un número (que obviamente no podrá ser ningún entero), que multiplicado por sí mismo dé 2 por resultado.

Al buscarlo nos sorprende entender y aceptar que no hay ni puede haber número tal, ni entero ni quebrado... A no ser que reasumamos nuestra noción última de número, y, considerándola penúltima, le añadamos una última; con la consecuente reasunción de muchas otras nociones matemáticas. Diremos entonces que la raíz de 2 es exactamente igual a "raíz de" 2 (mayor que cualquier número que podamos expresar como quebrado y menor que cualquiera que le siga: m < "raíz de" 2

No nos extrañe la calificación de irracional que damos a ese número.., y que nos lleva, una vez más, a reasumir nuestra noción de número, y a asumir las consecuencias

08. Y a algo similar, pero distinto, nos lleva el preguntarnos por la raíz cuadrada (o cualquiera otra raíz par) de un número negativo, dado que cualquier cantidad negativa al cuadrarse dará una positiva. El "etcétera" matemático nos urge a inventar un nuevo número: "raíz de" [-1], al que llamamos unidad imaginaria y representamos con la i : "raíz de" [-1] = i , "raíz de" [-4] = 2i, "etcétera".

09. El cual último "etcétera" nos lleva mucho más allá: podemos entenderlo no sólo como el "etcétera" de los imaginarios (incluídos los complejos); sino como el "etcétera" de los "etcéteras"s: Como la expresión de que el entender matemático no reconoce límite. Ya Georg Cantor (1845-1918) incursionaba en el campo de los transfinitos (números no incluibles en el conjunto infinito de los números).

10. Este paseo por las Matemáticas casi elementales propicia tal vez no sólo el comprender cómo el entender se relaciona con lo sensorialmente perceptible, sino también cómo lo hace con los símbolos imaginativos o gráficos en que se apoya y se expresa: ¿Qué tanto de lo anterior se habría logrado, empleando, en vez de los arábigos (1, 2, 3, "etcétera"), los números romanos (I, II, III, IV, "etcétera")?: Intentemos multiplicar MDCCXXIX por CCCXLVII...

Pero la revisión hecha ilustra, sobre todo, que nuestro entender y conocer, más que a tomar fotografías, se parece a esculpir estatuas de mármol. Y que somos quizá capaces de hacerlo aun cuando el mármol escasee o esté agotado...
 
FxsI

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